Perbandingan 2 Metode Integral Numerik (Trapezoidal dan Simpson) Untuk Kasus Terjun Payung
•
Computational Physics
Diketahui gaya yang bekerja pada benda yang terjatuh dengan medium udara adalah gaya berat serta gaya gesek yang merupakan fungsi kecepatan. Gaya berat dirumuskan secara matematis sebagai
W=mg
Dengan m adalah massa benda dan g adalah percepatan gravitasi pada bumi yang bernilai 9,81m2/s. Sedangkan gaya gesek fluida (dalam kasus ini adalah udara) secara matematis dijabarkan sebagai berikut.
f=−cv
Dengan c adalah koefisien gesekan fluida (yang bergantung pada dimensi dan bentuk dari benda yang bergerak dan juga viskositas medium fluida) dan v adalah kecepatan gerak benda. Nilai negatif selalu menandakan gaya gesek fluida arah vektornya selalu berkebalikan dengan arah vektor kecepatannya. Sehingga persamaan Hukum 2 Newton menjadi
ma−mg+cv=0
Yang merupakan persamaan diferensial orde pertama karena yang dicari adalah kecepatan dalam fungsi waktu. Maka persamaan menjadi
dtdv+mcv=g
Penyelesaian persmaan diferensial di atas apabila kecepatan mula-mula bernilai nol adalah
v(t)=cmg(1−e−ct/m)
Diketahui kecepatan adalah turunan jarak terhadap waktu
dtdxdx=cmg(1−e−ct/m)=cmg(1−e−ct/m)dt
Lalu untuk mencari jarak yang ditempuh, dilakukan integral. Sehingga persamaan gerak menjadi
x(t)=cmg∫0t1−e−ct/mdt
Dari persamaan dapat dicari posisi tiap satuan waktu menggunakan metode numerik, yakni menggunakan metode simpson dan trapezoida.
PERMASALAHAN
Seorang penerjun penerjun turun dari pesawat dari ketinggian 1000m dengan kecepatan mengikuti persamaan. Diketahui massa penerjun 70kg dan koefisien gesek udara (c=20kg/s). cari posisi penerjun payung dari pesawat setelah 8 detik. dengan interval waktu 6.
Error Metode Trapesium=166.55925166.55925−163.640×100%=1.7522%Error Metode Simpson=166.55925166.55925−166.640×100%=0.00002868%
PERBANDINGAN METODE TRAPESIUM DAN SIMPSON
Pendekatan Menggunakan Metode Trapesium
Pendekatan Menggunakan Metode Simpson
Dari hasil integral yang diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan trapesium dan simpson disimpulkan bahwa metode simpson jauh lebih akurat dengan error 0.00002868 dibandingkan dengan metode trapesium dengan error 1.7522. Hal tersebut diakibatkan karena metode simpson menggunakan pendekatan fungsi parabola sehingga jarak fungsi x dan fungsi pendekatan jarak nya hampir berhimpit (nilai pendekatan sangat mendekati nilai fungsi x ) yang diperjelas pada gambar perbandingan metode.