Perbandingan 2 Metode Integral Numerik (Trapezoidal dan Simpson) Untuk Kasus Terjun Payung

Diketahui gaya yang bekerja pada benda yang terjatuh dengan medium udara adalah gaya berat serta gaya gesek yang merupakan fungsi kecepatan. Gaya berat dirumuskan secara matematis sebagai

$$\begin{align*} W = mg \end{align*}$$

Dengan $m$ adalah massa benda dan $g$ adalah percepatan gravitasi pada bumi yang bernilai $9,81\ m^2/s$. Sedangkan gaya gesek fluida (dalam kasus ini adalah udara) secara matematis dijabarkan sebagai berikut.

$$\begin{align*} f = -cv \end{align*}$$

Dengan $c$ adalah koefisien gesekan fluida (yang bergantung pada dimensi dan bentuk dari benda yang bergerak dan juga viskositas medium fluida) dan $v$ adalah kecepatan gerak benda. Nilai negatif selalu menandakan gaya gesek fluida arah vektornya selalu berkebalikan dengan arah vektor kecepatannya. Sehingga persamaan Hukum 2 Newton menjadi

$$\begin{align*} ma-mg+cv = 0 \end{align*}$$

Yang merupakan persamaan diferensial orde pertama karena yang dicari adalah kecepatan dalam fungsi waktu. Maka persamaan menjadi

$$\begin{align*} \frac{dv}{dt}+\frac{c}{m}v = g \end{align*}$$

Penyelesaian persmaan diferensial di atas apabila kecepatan mula-mula bernilai nol adalah

$$\begin{align*} v(t) = \frac{mg}{c}(1-e^{-ct/m}) \end{align*}$$

Diketahui kecepatan adalah turunan jarak terhadap waktu

$$\begin{align*} \frac{dx}{dt} &= \frac{mg}{c}(1-e^{-ct/m})\\ dx &= \frac{mg}{c}(1-e^{-ct/m}) \ dt \end{align*}$$

Lalu untuk mencari jarak yang ditempuh, dilakukan integral. Sehingga persamaan gerak menjadi

$$\begin{align} x(t) &= \frac{mg}{c} \int_0^t 1-e^{-ct/m} \ dt \end{align}$$

Dari persamaan dapat dicari posisi tiap satuan waktu menggunakan metode numerik, yakni menggunakan metode simpson dan trapezoida.

PERMASALAHAN

Seorang penerjun penerjun turun dari pesawat dari ketinggian $1000\ m$ dengan kecepatan mengikuti persamaan. Diketahui massa penerjun $70\ kg$ dan koefisien gesek udara ($c=20\ kg/s$). cari posisi penerjun payung dari pesawat setelah 8 detik. dengan interval waktu 6.

PENYELESAIAN

Metode Eksak

$$\begin{align*} v(t)&=\int_a^bf(x)\ dt \\ v(t)&= \frac{mg}{c}\int_0^t [1-e^{-ct/m}]\ dt \\x(t)&= \frac{mg}{c}-\left[t+\frac{m}{c}e^{-ct/m}\right]^t_0 \\x(t)&= \frac{mg}{c}-\left[t+\frac{m}{c}e^{-ct/m}-\frac {m}c\right] \\x(8)&= \frac{70 \times 9,8}{20}-\left[8+\frac{70}{20}e^{-20 \times 8/70}-\frac {70}{20}\right] \\x(8)&=166,55925 \end{align*}$$

Metode trapesium

$$\begin{align*} \int_a^bf(x)dx &\approx\sum_{i=1}^1c_if(x_i) \\&=c_0f(x_0)+c_1f(x_1) \\ &=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+f(x_1)\right] \end{align*}$$ $$\begin{align*} \int_a^bf(x)dx&=\int_{N_0}^{N_1}f(x)dx+\int_{N_1}^{N_2}f(x)dx+...+\int_{N_{n-1}}^{N_n}f(x)dx \\&=\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)]+\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_2)]+...\frac{h}{2}[f(x_{n-1})+f(x_n)] \\&=\frac{h}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+...+2f(x_i)+...+2f(x_{n-1})+2f(x_{n})] \end{align*}$$

Dengan

$$\begin{align*} h=\frac{b-c}{n} \end{align*}$$

Sehingga

$$\begin{align*} L_i&=\frac{1}{2}(f_i+f_{i+1})\ \Delta{x_i} \\L&=\sum_{i=0}^{n-1}L_i \end{align*}$$ $$\begin{align*} L&=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2}h(f_i+f_{i+1})\\ L&=\frac{h}{2}(f_i+2f_1+2f_2+...+2f_{n-1}+f_n) \\L&=\frac{h}{2}(f_0+2\sum_{i=1}^{n-1}f_i+f_n) \end{align*}$$

Penyelesaian Menggunakan Metode Trapesium

1. Fungsi didefinisikan y=f(t)

2. Batas atas dan batas bawah ditentukan a = [a(1), a(2)]

3. Jumlah pembaginya ditentukan

4. Nilai h = [a(1), a(2)] / 2

5. Diketahui pada posisi $x(t)=L$, berlaku

   $$\begin{align*} L=\frac{h}{2}(f_0+2\sum_{i=1}^{n-1}f_i+f_n) \end{align*}$$

6. Source code metode trapesium

   c=20; m=70; g=9.8;
   a = [0,8]; %batasnya (xawal,xakhir)
   n = 4; %interval yang dipakai
   h = (a(2)-a(1)) / n;
   fff = 0;
    
   f = @(t)(m*g/c)*(1-exp(-c*t/m ));
    
   for i=1:n+1
   	if i == 1 || i == n+1
   		fff = fff + f(a(1));
   	else
   		fff = fff + 2*f(a(1));
   	end
    
   	a(1) = a(1) + h;
   end
    
   posisi = h/2*fff
   

   

Metode Simpson 1/3

$$\begin{align*} L=\frac {h}{2} [f_0+4\sum_{i=ganjil}f_i+2\sum_{i=genap}f_i+f_n] \end{align*}$$

Dengan

$$\begin{align*} h=\frac {b-a} {n} \end{align*}$$

Penyelesaian menggunakan menggunakan metode simpson 1/3

1. fungsi didefinisikan y = f(t)

2. batas atas dan batas bawah ditentukan a = [a(1), a(2)]

3. jumlah pembaginya ditentukan

4. Nilai h = [a(1), a(2)] / 2

5. Diketahui pada posisi $x(t)=L$, berlaku

   $$\begin{align*} L=\frac {h}{2} [f_0+4\sum_{i=ganjil}f_i+2\sum_{i=genap}f_i+f_n] \end{align*}$$

6. Source Code Metode Simpson

   c=20; m=70; g=9.8;
    
   a = [0,8]; %batasnya
   n = 60; %intervalnya
   h = (a(2)-a(1)) / n;
   fff = 0;
    
   f = @(t)(m*g/c)*(1-exp(-c*t/m ));
    
   for i=1:n+1
   	if i == 1 || i == n+1
   		fff = fff + f(a(1));
   	elseif mod(i,2) == 0
   		fff = fff + 4*f(a(1));
   	elseif mod(i,2) == 1
   		fff = fff + 2*f(a(1));
   	end
    
   	a(1) = a(1) + h;
   end
    
   posisi = h/3*fff
   

   

PERHITUNGAN ERROR

$$\begin{align*} \text{Error} = \left|\frac{f_{\text{eksak}} - f_{\text{numerik}}} {f_{\text{eksak}}}\right| \times 100 \% \end{align*}$$

Dari hasil perhitungan, diketahui

$$\begin{align*} f_{\text{eksak}} &= 166,55925\ m\\ f_{\text{trapesium}} &= 163,640\ m\\ f_{\text{simpson}} &= 166,5593\ m\\ \end{align*}$$

Sehingga dapat dihitung error

$$\begin{align*} \text{Error Metode Trapesium} = \left|\frac{166.55925 - 163.640}{166.55925}\right| \times 100\% =1.7522\% \end{align*}$$ $$\begin{align*} \text{Error Metode Simpson} = \left|\frac{166.55925 - 166.640}{166.55925}\right| \times 100\% =0.00002868\% \end{align*}$$

PERBANDINGAN METODE TRAPESIUM DAN SIMPSON

Pendekatan Menggunakan Metode Trapesium

Pendekatan Menggunakan Metode Simpson

Dari hasil integral yang diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan trapesium dan simpson disimpulkan bahwa metode simpson jauh lebih akurat dengan error $0.00002868$ dibandingkan dengan metode trapesium dengan error $1.7522$. Hal tersebut diakibatkan karena metode simpson menggunakan pendekatan fungsi parabola sehingga jarak fungsi x dan fungsi pendekatan jarak nya hampir berhimpit (nilai pendekatan sangat mendekati nilai fungsi x ) yang diperjelas pada gambar perbandingan metode.